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0! = 1

La fonction factorielle est souvent définie comme le produit : $$n!=\prod_{k=1}^n k\text{,}$$ ou bien par récurrence : $$n!=n\cdot(n-1)!\text{,}$$ en prenant par convention : $0!=1$. Mais pourquoi cette convention ?

Zero

Bien sûr c’est assez pratique pour la formule des combinaisons, car ainsi on peut écrire : $$C_n^k=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)={n!\over k!(n-k)!}$$ même quand $k=n$, et vérifier qu’il y a bien une seule façon de choisir $n$ éléments parmi $n$ 🙂

On peut trouver une explication plus satisfaisante en revenant au sens ensembliste de la factorielle : $n!$ c’est le nombre de permutations d’un ensemble à $n$ éléments, c’est à dire le nombre de bijections possibles entre cet ensemble et lui-même.

Du coup la question devient : quelles sont les bijections entre l’ensemble vide $\emptyset$ et lui-même ? Quel est leur nombre ?

Pour revenir aux bases, une application $f$ d’un ensemble $A$ vers un ensemble $B$ est une relation entre $A$ et $B$ — autrement dit une partie $f\subset A\times B$ — qui vérifie : $$\forall x\in A, \exists! y\in B, (x,y)\in f\text{.}$$ Et dans le cas où $(x,y)\in f$ on écrit : $y=f(x)$.

On observe que $\emptyset\times\emptyset=\emptyset$, que donc $\emptyset$ est la seule partie de $\emptyset\times\emptyset$, et on vérifie que $\forall x\in \emptyset, \exists! y\in \emptyset, (x,y)\in \emptyset$, ce qui démontre que $\emptyset$ est la seule application de $\emptyset$ vers $\emptyset$. On remarque que le domaine de (l’application) $\emptyset$ est vide, et que donc on n’a jamais l’occasion d’écrire $\emptyset(x)=y$.

Pour finir, on constate que (l’application) $\emptyset:\emptyset\to\emptyset$ est à la fois injective (son domaine est vide) et surjective (son ensemble d’arrivée est vide), ce qui démontre que $\emptyset$ est une bijection.

Il est temps de conclure : $\emptyset$ est l’unique bijection entre $\emptyset$ et $\emptyset$…

$0!=1$.$\quad \Box$

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